题目#

设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 上可导，并满足

证明：
至少存在一点 $\xi\in(0,1)$，使得

解题思路#

目标式

可以等价改写为

这提示我们：
应当构造一个函数，其导数中自然出现 $f'(x)-2x f(x)$。

注意到：

因此这大概率是*“构造函数 + 罗尔定理”*

我的解法#

设

由题设条件可知：

• $F(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续；
• $F(x)$ 在 $(0,1)$ 上可导。

由积分中值定理，存在

使得

题目给出：

代入积分中值定理结果：

另一方面，

因此得到关键等式：

函数 $F(x)$ 在区间 $[\eta,1]$ 上连续，在 $(\eta,1)\subset(0,1)$ 上可导，且

由罗尔定理，存在

使得

由

且 $e^{1-x^2}>0$，可得

即

证毕。